Ecuación de Interés Compuesto

Este trabajo presenta un resumen introductorio sobre las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), abordando los conceptos fundamentales que las caracterizan, así como algunos métodos básicos de resolución mediante ejemplos sencillos que facilitan la comprensión y aplicación práctica por parte del lector.
Palabras clave: ecuación diferencial, derivada, EDO.

Introducción

En las ciencias es común encontrar ecuaciones para modelar procesos físico y químicos, pero también en otras áreas como en ciencias económicas. Muchas de estas ecuaciones son utilizadas para modelar razones de cambio de diferentes variables como la posición y velocidad respecto al tiempo (velocidad y aceleración respectivamente), estas son conocidas como ecuaciones diferenciales.

Definición: Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que tiene una variable independiente y, una variable dependiente x y almenos una derivada de la variable dependiente respecto a la variable independiente dy/dx en cualquiera de su órden.

En una EDO, el órden de la ecuación indica el órden más alto de la derivada de la variable independiente, por ejemplo:

estas ecuaciones son las definiciones utilizadas en fisica para calcular la velocidad y la aceleración, que son la derivda de la posición respecto al tiempo para la velocidad, y la segunda derivada para la aceleración. La primer EDO es de órden 1, y la segunda ecuación es de órden 2.

Por otro lado, se define la linealidad de una EDO si la variable dependiente de la derivada en la ecuación no es un producto con ninguna de las derivadas dentro de la ecuación, es decir:

donde c y k son funciones que dependen únicamente de la variable independiente.

Definición: La solución de una ecuación diferencial ordinaria de órden n es una familia de curvas y(x) definida en un intervalo l diferenciable almenos n veces continuas en el intervalo l, que al sustituir dichas diferenciales en la ecuación diferencial, se cumple la igualdad.

En el siguiente ejemplo se muestra una solución para una EDO.

Ejemplo de solución de la EDO dy/dx por lo tanto se debe obtener la función que satisfaga nuestra ecuación:

Se tiene la ecuación:

para solucionar esta EDO se debe despejar y obtener variables separadas

ahora se procede a integra ambos lados de la igualdad

despejamos la variable dependiente y para obtener la solución final

Caso de estudio: Ecuación de Interés Compuesto

La ecuación diferencial de interés compuesto es una ecuación utilizada por las ciencias economicas que establece que la velocidad con la que crece el capital es proporcional al capital que se tiene incialmente. Está definida de la siguiente forma:

en donde S(t) es una función del tiempo y representa el capital, t es la variable del tiempo y r es los interéses.

Esta EDO es de primer órden, es decir solo esta presente la primer derivada de la variable dependiente, es líneal (no hay productos entre la variable dependente y alguna de sus derivadas) y de manera similar a la ecuación del ejemplo de la sección anterior puede ser solucionada por el método de variables separables. A continuación se presenta el procedimiento de solución de esta EDO:

se separan las variables:

se integra ambos lados de la igualdad:

ahora se procede a despejar la variable S:

Esta es la solución de la EDO, donde k es el capital inicial. De la que se puede deducir que el capital crece de manera continua y de forma exponencial.

Ahora se va a abordar un ejemplo con valores numéricos para entender mejor el uso de esta EDO y su solución.

Suponga que se tiene una deuda inicial de $10000 y una tasa de interés de 20 %, ¿de cuánto será esta deuda después de 5 años?. Sustituyendo estos valores en la solución obtenemos:

cada año se generan interéses de 20 % sobre los $10000 con crecimiento exponencial.
Ahora se sustituye el valor de años:

ahora simplemente lo dividimos por el número de años:

esto lo que nos dice es que en 5 años, se generan $5436 de interéses.

Conclusiones

En este documento se ha revisado una definición de las EDO’s y varios conceptos que se relaciona con estas. Se propuso analisar la ecuación de Interés Compuesto, de la que se aprendió a calcular la solución general y se brindó una descripción de su significado.