Algebra lineal I: Método de Gauss y Gauss-Jordan

Resumen

En este capítulo de algebra líneal se estudiarán los distintos métodos de resolución de ecuaciones; el método de Gauss y de Gauss-Jordan.

Introducción

Un sistema de ecuaciones con dos incognitas es un sistema de ecuaciones que puede ser resuelto por los métodos tradicionales (sustitución, reducción etc). En este capítulo se va a emplear el método de Gauss y Gauss-Jordan para la resolución de un sistema y obtener el valor de las variables. Primero se presentará el método seguido de un ejemplo completamente resuelto.

Sea un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas x e y, como el que se muestra a continuación:

Para fines de este trabajo, se va a utilizar coordenadas generalizadas, es decir, se va a sustituir x por x₁, e y por x₂ teniendo así:

obteniendo los siguientes valores para x₁ = 5 y x₂ = 13. Al graficar las ecuaciones lineales en un eje coordenado, se puede obtener como resultado el gráfico de la Figura 1.

en esta figura, se puede apreciar que ambas ecuaciones se cruzan en las coordenadas (-5,13) coincidiendo con la solución que se ha planteado.

Cuando se tiene un sistema de ecuaciones, se tienen tres diferentes posibilidades al momento de solucionar las ecuaciones:

• Existe una única solución del sistema, es decir la solución es única, como la que se muestra en el grafico.
• Existe un número infinito de soluciones, lo que graficamente se puede ver como una ecuación graficada sobre de la otra. Esto sucede cuando una ecuación es proporcional a la otra.
• No existe solución para el sisema de ecuaciones, graficamente puede observarce como dos funciones paralelas (por lo tanto nunca se intersectarán las gráficas).

Para solucionar el sistema de ecuaciones, se debe de conocer las operaciones admitidas, siendo las siguientes:

• Multiplicar ambos lados de La igualdad por un número real distinto de cero.
• Multiplicar ambos lados de la igualdad por un número real distinto de cero y sumar el resultado a otra ecuación.
• Intercambio de posición de ecuaciones.

Reducción Gaussiana

Para utilizar este método es necesario aplicar las operaciones descritas anteriormente. El propósito de éste consiste en convertir el sistema de ecuaciones en la forma escalonada, es decir mantener \textit{pivotes} en la diagonal del sistema. Los pivotes se pueden definir como el coeficiente igual a 1, por debajo de los pivotes debe de haber ceros. En el siguiente ejemplo se presentará el procedimiento a seguir:

el primer paso será cambiar de posición la ecuación (7) y la ecuación (6) para que debajo del primer pivote (el coeficiente que acompaña la variable x₁ de la ecuación 5) sea 0:

ahora se divide la equación (5) entre 2 para obtener el primer pivote:

posteriormente se multiplica la ecuación (5) por -5y se suma a la ecuación (6) para que el coeficiente de x₁ sea 0 :

luego la ecuación (7) se multiplica por 1/2 y es sumada a la ecuación número (6) para que el coeficiente que acompaña la variable x₂ se haga 0:

Hasta este paso, se ha obtenido ceros por debajo de los pivotes de la ecuación (5) y (7). Finalmente se multiplica por 2/13 la ecuación (6) para obtener el último pivote (en otras palabras que el coeficiente de x₃ sea 1):

Como se puede observar en el último sistema obtenido, se han calculado los pibotes en las variables x₁, x₂ y x₃ en las ecuaciones (5), (7) y (6) respectivamente.
Ahora es posible hacer sustitución hacia atras, comenzando con el valor de x₃ para obtener el valor de x₂ a partir de la ecuación (7), y posteriormente sustituir ambos valores en la ecuación (5). Así se obtiene:

Con este ejemplo se ha mostrado el procedimiento a seguir para el método de Gauss.

Método Gauss-Jordan

Este método es similar al de Gauss, pero a diferencia de éste, se deben tener ceros por arriba y por debajo de los pivotes, en pocas palabras se debe conservar la primer variables en la primer ecuación, hasta la n-sima variable en la n-sima ecuación. Se presentará el mismo sistema de ecuaciones del ejemplo anterior, el procedimiento es igual, por lo que se parte desde el sistema:

Para aplicar el método de Gauss-Jordan se debe eliminar la variable x₃ de la ecuación (7) y las variables x₂ y x₃ de la ecuación (5). Por lo que se procede multiplicando la ecuación (6) por -4 y lo sumamos a la ecuación (7):

ahora se multiplica la ecuación (6) por 1/2 y es sumado a la ecuación (5):

finalmente se multiplica la ecuación (7) por -1/2y es sumado a la ecuación (5):

De esta manera se han calculado los valores de las tres variables sin hacer sustitución hacia atras como se hizo en el método de Gauss.

Conclusión

Estos son métodos utilizados para la resolución de sistemas de cuaciones lineales, aún cuando estos puedan o no tener una solución única. A partir de aqui es posible utilizar la notación matricial para a resolución de sistemas de ecuaciónes, la cual será presentada en una siguiente entrega.